Упр.11.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон — в точке F. Докажите, что прямая EF делит основания трапеции пополам (рис. 259).

Подробный ответ

Пусть прямая $$EF$$ пересекает основание $$BC$$ в точке $$N$$, а основание $$AD$$ — в точке $$M$$.

Рассмотрим параллельные прямые $$AD$$ и $$BC$$.

Тогда

$$\angle DAF=\angle CBF$$

как соответственные углы при секущей $$AF$$,

$$\angle FNB=\angle FMA$$

как соответственные углы при секущей $$FM$$,

$$\angle ADF=\angle NCF$$

как соответственные углы при секущей $$DF$$.

Следовательно, $$\triangle AFD \sim \triangle BFC$$ по двум углам, значит

$$\frac{AF}{BF}=\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{BC}=k.$$

Аналогично, $$\triangle AFM \sim \triangle BFN$$, поэтому

$$\frac{AM}{BN}=\frac{AF}{BF}=k.$$

И, наконец, $$\triangle DFM \sim \triangle CFN$$, откуда

$$\frac{DM}{CN}=\frac{DF}{CF}=k.$$

Тогда

$$AM=k\cdot BN,\qquad DM=k\cdot CN.$$

Так как прямая $$NM$$ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, то по свойству, доказанному в задаче 11.23,

$$\frac{BG}{CN}=\frac{DM}{AM}.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$\frac{BG}{CN}=\frac{k\cdot CN}{k\cdot BN}=\frac{CN}{BN},$$

откуда $$BN=CN$$.

Тогда из $$\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{BN}{CN}=1$$ следует, что $$DM=AM$$.

Значит, точка $$M$$ — середина основания $$AD$$, а точка $$N$$ — середина основания $$BC$$. Следовательно, прямая $$EF$$ делит основания трапеции пополам.