Упр.15.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: основание пирамиды-прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см;
каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см;
Найти: высоту пирамиды;
Решение:
1) Пусть PABCD-данная пирамида с основанием ABCD, тогда:
AB=8 см, AD=6 см, PA=PB=PC=PD=13 см;
2) В прямоугольном треугольнике ADB:
BD=v(AB^2+AD^2 )=v(8^2+6^2 )=v(64+36)=v100=10 см;
3) Отметим точку O на середине отрезка BD, тогда: DO=1/2 BD=5 см;
4) В равнобедренном треугольнике PBD отрезок PO-медиана, значит
он также является и высотой, то есть PO-искомая высота пирамиды;
5) В прямоугольном треугольнике DOP:
PO=v(PD^2-DO^2)=v(13^2-5^2 )=v(169-25)=v144=12 см.
Ответ: 12 см.

Пусть $$PABCD$$ — данная пирамида, где $$ABCD$$ — основание, прямоугольник. Тогда $$AB=8\text{ см}$$, $$AD=6\text{ см}$$, а также $$PA=PB=PC=PD=13\text{ см}$$.

Найдём диагональ основания $$BD$$:

$$ BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ см}. $$

Так как все боковые рёбра пирамиды равны, то точка $$P$$ равноудалена от вершин $$A,B,C,D$$. Следовательно, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности прямоугольника, то есть через точку пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку через $$O$$.

В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$ DO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}. $$

В прямоугольном треугольнике $$PDO$$:

$$ PO=\sqrt{PD^2-DO^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}. $$

Следовательно, высота пирамиды равна $$12\text{ см}$$.

Ответ

$$12\text{ см}$$