Упр.8.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите центр окружности на оси $$x$$, если известно, что окружность проходит через точку $$(1; 4)$$ и радиус окружности равен $$5$$.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(a;0),$$ так как он лежит на оси $$x.$$

Точка $$A(1;4)$$ принадлежит окружности, значит, расстояние от центра до этой точки равно радиусу $$5$$:

$$OA=5.$$

По формуле расстояния между точками получаем:

$$\sqrt{(1-a)^2+(4-0)^2}=5.$$

Возведём в квадрат:

$$(1-a)^2+16=25$$

$$(1-a)^2=9$$

$$1-a=\pm 3$$

Отсюда:

$$a=-2 \quad \text{или} \quad a=4.$$

Следовательно, центры окружности имеют координаты $$(-2;0)$$ и $$(4;0).$$

Ответ: $$(-2;0)$$ или $$(4;0).$$