Упр.5.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Разделите угол на четыре равные части.

Пусть дан угол с вершиной $$O$$ и сторонами $$OA$$ и $$OB$$. Построим его четвертую часть.

1. Проведём окружность с центром в точке $$O$$ произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла в точках $$A$$ и $$B$$.
2. Проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ тем же радиусом. Пусть они пересекутся в точке $$C$$, лежащей внутри угла.
3. Соединим $$O$$ и $$C$$. Тогда $$OA=OB=AC=BC$$, значит точки $$O$$, $$A$$, $$C$$ и $$B$$ образуют равносторонние треугольники, поэтому луч $$OC$$ делит угол $$AOB$$ пополам:
   $$\angle AOC=\angle COB.$$
4. Теперь построим биссектрисы углов $$AOC$$ и $$COB$$. Для этого из точек $$A$$ и $$C$$, а затем из точек $$C$$ и $$B$$ тем же радиусом проведём окружности и отметим точки их пересечения внутри соответствующих углов. Соединив вершину угла с точками пересечения, получим лучи, делящие каждый из углов пополам.

Так как $$OC$$ — биссектриса угла $$AOB$$, а построенные лучи делят пополам углы $$AOC$$ и $$COB$$, то весь угол $$AOB$$ разделён на четыре равные части.