Упр.5.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: угол, разделенный на четыре равные части;
Построение:
1) Пусть дан угол O, разделим его на четыре равные части:
2) Установим произвольный развод циркуля, все окружности мы
будем строить с этим радиусом;
3) Проведем окружность из точки O, на пересечении этой окружности
со сторонами угла отметим точки A и B;
4) Проведем окружность из точек A и B, на их пересечении отметим
точку D;
5) На пересечении луча OD и окружности, проведенной из точки O
отметим точку D;
6) Проведем окружность из точки D, на пересечениях этой окружности
с окружностями, проведенными из точек A и B, отметим точки E и F;
7) Углы AOE, EOC, COF и FOB равны, так как OC-биссектриса
первоначального угла, а OE и OF-биссектрисы, образованных ею
углов

Подробный ответ

Пусть дан угол с вершиной $$O$$. Сначала построим его биссектрису $$OC$$, тогда угол разделится на две равные части.

Затем построим биссектрисы углов $$AOC$$ и $$COB$$. Обозначим точки пересечения этих биссектрис со сторонами угла через $$E$$ и $$F$$.

Тогда

$$\angle AOE=\angle EOC,$$
$$\angle COF=\angle FOB.$$

Кроме того, так как $$OC$$ — биссектриса исходного угла, то

$$\angle AOC=\angle COB.$$

Следовательно, все четыре угла равны:

$$\angle AOE=\angle EOC=\angle COF=\angle FOB.$$

Значит, данный угол разделён на четыре равные части.