Упр.4.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$CD$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$, если угол $$ADC$$ равен: 1) $$60^\circ$$; 2) $$75^\circ$$; 3) $$\alpha$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle BAC=\angle BCA$$.
Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$ACB$$, имеем
$$\angle DCA=\frac{1}{2}\angle BCA.$$
Рассмотрим треугольник $$ADC$$:
$$\angle CAD+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ.$$
Но $$\angle CAD=\angle BAC$$, поэтому
$$\angle BAC+\angle ADC+\frac{1}{2}\angle BCA=180^\circ.$$
Так как $$\angle BAC=\angle BCA$$, получаем
$$\frac{3}{2}\angle BAC=180^\circ-\angle ADC,$$
откуда
$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{2}{3}\left(180^\circ-\angle ADC\right)=120^\circ-\frac{2}{3}\angle ADC.$$
Тогда
$$\angle ABC=180^\circ-2\angle BAC=180^\circ-2\left(120^\circ-\frac{2}{3}\angle ADC\right)=\frac{4}{3}\angle ADC-60^\circ.$$
Теперь подставим значения.
Если $$\angle ADC=60^\circ$$, то
$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac{2}{3}\cdot 60^\circ=80^\circ,$$
$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 80^\circ=20^\circ.$$
Если $$\angle ADC=75^\circ$$, то
$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac{2}{3}\cdot 75^\circ=70^\circ,$$
$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 70^\circ=40^\circ.$$
Если $$\angle ADC=\alpha$$, то
$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac{2}{3}\alpha,$$
$$\angle ABC=\frac{4}{3}\alpha-60^\circ.$$
Ответ: 1) $$80^\circ,\ 80^\circ,\ 20^\circ$$; 2) $$70^\circ,\ 70^\circ,\ 40^\circ$$; 3) $$120^\circ-\frac{2}{3}\alpha,\ 120^\circ-\frac{2}{3}\alpha,\ \frac{4}{3}\alpha-60^\circ$$.
