Упр.15.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

Пусть $$PABCD$$ — данная пирамида, где основание $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=8$$ см, $$AD=6$$ см, а все боковые рёбра равны $$13$$ см: $$PA=PB=PC=PD=13$$ см.

Найдём диагональ основания:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Так как $$PA=PB=PC=PD$$, то точка $$P$$ равноудалена от всех вершин основания. Следовательно, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр прямоугольника. Этот центр — точка пересечения диагоналей, обозначим её $$O$$.

В прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$DO=\frac{1}{2}BD=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$PDO$$:

$$PO=\sqrt{PD^2-DO^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12$$ см.