Упр.12.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны две стороны и угол между ними. а) Найдите остальные два угла и третью сторону, если:

1. $$a=12$$, $$b=8$$, $$\gamma=60^\circ$$;
2. $$a=7$$, $$b=23$$, $$\gamma=130^\circ$$;
3. $$a=9$$, $$c=17$$, $$\alpha=95^\circ$$;
4. $$b=14$$, $$c=10$$, $$\alpha=145^\circ$$;
5. $$a=32$$, $$c=23$$, $$\beta=152^\circ$$;
6. $$a=24$$, $$c=18$$, $$\beta=15^\circ$$.

Пусть в треугольнике стороны $$a,b,c$$ лежат против углов $$\alpha,\beta,\gamma$$ соответственно. Тогда используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны и теорему синусов для нахождения одного из углов, а затем находим третий угол по сумме углов треугольника.

1)

Если $$a=12$$, $$b=8$$ и $$\gamma=60^\circ$$, то

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
$$c=\sqrt{12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot \cos 60^\circ} =\sqrt{144+64-192\cdot \frac12} =\sqrt{112}\approx 10{,}6.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma},\qquad \sin\alpha=\frac{a\sin\gamma}{c}$$
$$\sin\alpha=\frac{12\cdot \sin 60^\circ}{10{,}6}\approx 0{,}98,$$
значит $$\alpha\approx 79^\circ$$.

Тогда

$$\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-79^\circ-60^\circ\approx 41^\circ.$$

2)

Если $$a=7$$, $$b=23$$ и $$\gamma=130^\circ$$, то

$$c=\sqrt{7^2+23^2-2\cdot 7\cdot 23\cdot \cos 130^\circ} \approx \sqrt{785}\approx 28.$$

По теореме синусов:

$$\sin\alpha=\frac{a\sin\gamma}{c} =\frac{7\sin 130^\circ}{28}\approx 0{,}19,$$
значит $$\alpha\approx 11^\circ$$.

Тогда

$$\beta=180^\circ-130^\circ-11^\circ\approx 39^\circ.$$

3)

Если $$a=9$$, $$c=17$$ и $$\alpha=95^\circ$$, то

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\alpha}$$
$$b=\sqrt{9^2+17^2-2\cdot 9\cdot 17\cdot \cos 95^\circ} \approx \sqrt{396{,}7}\approx 19{,}9.$$

По теореме синусов:

$$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}$$
$$\sin\beta=\frac{9\sin 95^\circ}{19{,}9}\approx 0{,}45,$$
значит $$\beta\approx 27^\circ$$.

Тогда

$$\gamma=180^\circ-95^\circ-27^\circ\approx 58^\circ.$$

4)

Если $$b=14$$, $$c=10$$ и $$\alpha=145^\circ$$, то

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}$$
$$a=\sqrt{14^2+10^2-2\cdot 14\cdot 10\cdot \cos 145^\circ} \approx \sqrt{525{,}3}\approx 22{,}9.$$

По теореме синусов:

$$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{14\sin 145^\circ}{22{,}9}\approx 0{,}35,$$
значит $$\beta\approx 21^\circ$$.

Тогда

$$\gamma=180^\circ-145^\circ-21^\circ\approx 14^\circ.$$

5)

Если $$a=32$$, $$c=23$$ и $$\beta=152^\circ$$, то

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}$$
$$b=\sqrt{32^2+23^2-2\cdot 32\cdot 23\cdot \cos 152^\circ} \approx \sqrt{2853}\approx 53{,}4.$$

По теореме синусов:

$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b} =\frac{32\sin 152^\circ}{53{,}4}\approx 0{,}28,$$
значит $$\alpha\approx 16^\circ$$.

Тогда

$$\gamma=180^\circ-152^\circ-16^\circ\approx 12^\circ.$$

6)

Если $$a=24$$, $$c=18$$ и $$\beta=15^\circ$$, то

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}$$
$$b=\sqrt{24^2+18^2-2\cdot 24\cdot 18\cdot \cos 15^\circ} \approx \sqrt{65{,}5}\approx 8{,}1.$$

По теореме синусов:

$$\sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b} =\frac{18\sin 15^\circ}{8{,}1}\approx 0{,}58,$$
значит $$\gamma\approx 35^\circ$$.

Тогда

$$\alpha=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx 130^\circ.$$

Ответ: 1) $$c\approx 10{,}6$$, $$\alpha\approx 79^\circ$$, $$\beta\approx 41^\circ$$; 2) $$c\approx 28$$, $$\alpha\approx 11^\circ$$, $$\beta\approx 39^\circ$$; 3) $$b\approx 19{,}9$$, $$\beta\approx 27^\circ$$, $$\gamma\approx 58^\circ$$; 4) $$a\approx 22{,}9$$, $$\beta\approx 21^\circ$$, $$\gamma\approx 14^\circ$$; 5) $$b\approx 53{,}4$$, $$\alpha\approx 16^\circ$$, $$\gamma\approx 12^\circ$$; 6) $$b\approx 8{,}1$$, $$\alpha\approx 130^\circ$$, $$\gamma\approx 35^\circ$$.