Упр.11.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите высоту треугольника $$AED$$, опущенную на сторону $$AD$$, если $$BC=7\ \text{см}$$, $$AD=21\ \text{см}$$ и высота трапеции равна $$3\ \text{см}$$.
Так как $$AD \parallel BC,$$ то углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные при секущей $$AE.$$ Кроме того, $$\angle AED$$ и $$\angle BEC$$ — вертикальные, значит,
$$\triangle AED \sim \triangle BEC.$$
Из подобия получаем:
$$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}=\frac{21}{7}=3.$$
Но $$AE=AB+BE,$$ поэтому
$$\frac{AB+BE}{BE}=3,$$
откуда
$$\frac{AB}{BE}=2,$$
значит,
$$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}.$$
Опустим высоту $$BH_1$$ трапеции $$ABCD$$. По условию $$BH_1=3\text{ см}.$$ Опустим высоту $$EH$$ треугольника $$AED.$$
Прямоугольные треугольники $$AHE$$ и $$AH_1B$$ подобны, так как у них общий угол при $$A,$$ а углы при $$H$$ и $$H_1$$ прямые. Тогда
$$\frac{EH}{BH_1}=\frac{AE}{AB}.$$
Так как $$AE=AB+BE,$$ то
$$\frac{AE}{AB}=1+\frac{BE}{AB}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$
Следовательно,
$$EH=BH_1\cdot \frac{3}{2}=3\cdot \frac{3}{2}=4{,}5\text{ см}.$$
Ответ: $$4{,}5\text{ см}.$$
