Упр.1.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Между сторонами угла $$\angle (ab)$$, равного $$60^\circ$$, проходит луч $$c$$. Найдите углы $$\angle (ac)$$ и $$\angle (bc)$$, если:
   1) угол $$\angle (ac)$$ на $$30^\circ$$ больше угла $$\angle (bc)$$;
   2) угол $$\angle (ac)$$ в $$2$$ раза больше угла $$\angle (bc)$$;
   3) луч $$c$$ делит угол $$\angle (ab)$$ пополам;
   4) градусные меры углов $$\angle (ac)$$ и $$\angle (bc)$$ относятся как $$2:3$$.

Если луч $$c$$ проходит между сторонами угла $$ab$$, то

$$\angle ab=\angle ac+\angle cb.$$

1. $$\angle ab=60^\circ,\quad \angle ac=\angle cb+30^\circ.$$

   Тогда

   $$60^\circ=(\angle cb+30^\circ)+\angle cb,$$

   $$60^\circ=2\angle cb+30^\circ,$$

   $$2\angle cb=30^\circ,$$

   $$\angle cb=15^\circ.$$

   Следовательно,

   $$\angle ac=15^\circ+30^\circ=45^\circ.$$

2. $$\angle ab=60^\circ,\quad \angle ac=2\angle cb.$$

   Тогда

   $$60^\circ=2\angle cb+\angle cb,$$

   $$60^\circ=3\angle cb,$$

   $$\angle cb=20^\circ.$$

   Следовательно,

   $$\angle ac=2\cdot 20^\circ=40^\circ.$$

3. Если луч $$c$$ делит угол $$ab$$ пополам, то

   $$\angle ac=\angle cb.$$

   Тогда

   $$60^\circ=\angle cb+\angle cb,$$

   $$60^\circ=2\angle cb,$$

   $$\angle cb=30^\circ.$$

   Значит,

   $$\angle ac=30^\circ.$$

4. $$\angle ab=60^\circ,\quad \angle ac:\angle cb=2:3.$$

   Пусть

   $$\angle ac=2x,\quad \angle cb=3x.$$

   Тогда

   $$60^\circ=2x+3x,$$

   $$5x=60^\circ,$$

   $$x=12^\circ.$$

   Следовательно,

   $$\angle ac=24^\circ,\quad \angle cb=36^\circ.$$

Ответ: 1) $$45^\circ$$ и $$15^\circ$$; 2) $$40^\circ$$ и $$20^\circ$$; 3) $$30^\circ$$ и $$30^\circ$$; 4) $$24^\circ$$ и $$36^\circ$$.