Упр.15.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 26. Диагонали трёх граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, b, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-26 76

Обозначим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда через $$x,$$ $$y,$$ $$z.$$ Пусть диагонали трёх граней, сходящиеся в одной вершине, равны $$a,$$ $$b,$$ $$c.$$ Тогда по теореме Пифагора для соответствующих прямоугольных треугольников получаем:

$$a^2=y^2+z^2,$$
$$b^2=x^2+y^2,$$
$$c^2=x^2+z^2.$$

Сложим первое и второе равенства и вычтем третье:

$$a^2+b^2-c^2=(y^2+z^2)+(x^2+y^2)-(x^2+z^2)=2y^2,$$

откуда

$$y=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$

Аналогично:

$$a^2+c^2-b^2=2z^2,$$

значит

$$z=\sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}.$$

И, наконец,

$$b^2+c^2-a^2=2x^2,$$

откуда

$$x=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}};\ \sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}};\ \sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}.$$