Вопрос 26 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — перпендикулярные векторы. Тогда угол между ними равен $$\varphi=90^\circ$$, значит, $$\cos\varphi=0$$. По формуле скалярного произведения

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi,$$

получаем

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cdot 0=0.$$

Обратно, пусть $$\vec a\cdot \vec b=0$$ и векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ отличны от нуля. Тогда

$$|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi=0.$$

Так как $$|\vec a|\neq 0$$ и $$|\vec b|\neq 0$$, то

$$\cos\varphi=0,$$

откуда $$\varphi=90^\circ$$. Следовательно, векторы перпендикулярны.

Ответ

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю; и обратно, если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.