Упр.11.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 26. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.

Так как $$AD \parallel BC$$, то углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AE$$.

Кроме того, $$\angle DEA = \angle BEC$$ как вертикальные. Значит, $$\triangle AED \sim \triangle BEC$$ по двум углам.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}.$$

Подставим данные:

$$\frac{BE}{AE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$

Так как $$AE=AB+BE$$, то $$BE=AE-AB=AE-5$$. Тогда

$$\frac{AE-5}{AE}=\frac{2}{3}.$$

Решим уравнение:

$$3(AE-5)=2AE$$

$$3AE-15=2AE$$

$$AE=15\text{ см}.$$

Тогда

$$BE=AE-AB=15-5=10\text{ см}.$$

Теперь найдём $$CE$$. В треугольнике $$ADE$$ отрезок $$BC$$ параллелен основанию $$AD$$, поэтому по подобию треугольников $$BEC$$ и $$AED$$:

$$\frac{CD}{CE}=\frac{AB}{BE}.$$

Подставим значения:

$$\frac{6}{CE}=\frac{5}{10}.$$

Отсюда

$$CE=\frac{6\cdot 10}{5}=12\text{ см}.$$

Тогда

$$DE=CD+CE=6+12=18\text{ см}.$$

Ответ

$$AE=15\text{ см},\quad DE=18\text{ см}.$$