Упр.3.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой.

Пусть $$ABC$$ и $$A_1BC$$ — данные равнобедренные треугольники с общим основанием $$BC$$. Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$BC$$. Тогда $$BM=MC$$, значит, $$AM$$ и $$A_1M$$ — медианы, проведённые к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому

$$AM \perp BC \quad \text{и} \quad A_1M \perp BC.$$

Через точку $$M$$ к прямой $$BC$$ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Следовательно, отрезки $$AM$$ и $$A_1M$$ лежат на одной прямой.

Значит, медианы данных равнобедренных треугольников, проведённые к основанию, лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.