Упр.5.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: вписанную в данный треугольник окружность;
Построение:
1) Пусть дан треугольник ABC:
2) Построим биссектрисы AA1 и CC1 углов BAC и BCA, для чего:
— Проведем из точки A окружность произвольного радиуса;
— Из точек пересечения этой окружности со сторонами угла A
проведем окружности такого же радиуса;
— Отметим точку A1 на пересечени этих двух окружностей;
— Аналогично проведем биссектрису угла C;
3) Отметим точку O на пересечении биссектрис;
4) Из точки O опустим перпендикуляр OB1 на сторону AC, для чего:
— Проведем из точки O окружность произвольного радиуса;
— Из точек пересечения этой окружности со стороной AC проведем
две окружности одинакового радиуса;
— Проведем прямую через точки пересечения этих двух окружностей;
— Отметим точку B1 на пересечении этой прямой и стороны AC;
5) Из точки O проведем окружность радиуса OB1-эта окружность
искомая:

Подробный ответ

Пусть дан треугольник $$ABC$$.

Построим биссектрисы углов $$BAC$$ и $$BCA$$. Для этого из вершины каждого угла проводим дугу произвольного радиуса, отмечаем точки пересечения дуги со сторонами угла и из этих точек тем же радиусом проводим дуги, пересечение которых соединяем с вершиной угла. Получаем биссектрисы $$AA_1$$ и $$CC_1$$.

Точка их пересечения $$O$$ — центр вписанной окружности, так как она равноудалена от сторон треугольника.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OB_1$$ на сторону $$AC$$. Тогда $$OB_1$$ — радиус вписанной окружности.

Проведём окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OB_1$$. Эта окружность касается всех сторон треугольника $$ABC$$, значит, она вписана в треугольник.