Упр.13.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сторона правильного многоугольника равна $$a$$, а радиус описанной окружности — $$R$$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть $$AB$$ — сторона правильного многоугольника, $$O$$ — центр описанной окружности. Тогда $$AB=a$$ и $$OA=OB=R$$.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Так как в правильном многоугольнике центр лежит на перпендикуляре к стороне, проведённом через её середину, то $$H$$ — середина $$AB$$, значит

$$AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:

$$OH=\sqrt{OA^2-AH^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$

Так как $$OH$$ — радиус вписанной окружности, то

Ответ: $$r=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$