Упр.12.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:

1. а) $$a=5$$, $$\beta=30^\circ$$, $$\gamma=45^\circ$$;
   б) $$a=20$$, $$\alpha=75^\circ$$, $$\beta=60^\circ$$;
   в) $$a=35$$, $$\beta=40^\circ$$, $$\gamma=120^\circ$$;
   г) $$b=12$$, $$\alpha=36^\circ$$, $$\beta=25^\circ$$;
   д) $$c=14$$, $$\alpha=64^\circ$$, $$\beta=48^\circ$$.

Обозначим стороны треугольника так, как на рисунке: напротив углов $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$ лежат стороны $$a,\ b,\ c$$ соответственно. Тогда используем теорему о сумме углов треугольника и теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

1. Если $$a=5,\ \beta=30^\circ,\ \gamma=45^\circ,$$ то

   $$\alpha=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$b=a\cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}=5\cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}\approx 2{,}59,$$

   $$c=a\cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}=5\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ}\approx 3{,}66.$$

2. Если $$a=20,\ \alpha=75^\circ,\ \beta=60^\circ,$$ то

   $$\gamma=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$b=20\cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}\approx 17{,}9,$$

   $$c=20\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}\approx 14{,}6.$$

3. Если $$a=35,\ \beta=40^\circ,\ \gamma=120^\circ,$$ то

   $$\alpha=180^\circ-40^\circ-120^\circ=20^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$b=35\cdot \frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}\approx 65{,}8,$$

   $$c=35\cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 20^\circ}\approx 88{,}6.$$

4. Если $$b=12,\ \alpha=36^\circ,\ \beta=25^\circ,$$ то

   $$\gamma=180^\circ-36^\circ-25^\circ=119^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$a=12\cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 25^\circ}\approx 16{,}7,$$

   $$c=12\cdot \frac{\sin 119^\circ}{\sin 25^\circ}\approx 24{,}8.$$

5. Если $$c=14,\ \alpha=64^\circ,\ \beta=48^\circ,$$ то

   $$\gamma=180^\circ-64^\circ-48^\circ=68^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$a=14\cdot \frac{\sin 64^\circ}{\sin 68^\circ}\approx 13{,}6,$$

   $$b=14\cdot \frac{\sin 48^\circ}{\sin 68^\circ}\approx 11{,}2.$$

Ответ:

1) $$\alpha=105^\circ,\ b\approx 2{,}59,\ c\approx 3{,}66.$$
2) $$\gamma=45^\circ,\ b\approx 17{,}9,\ c\approx 14{,}6.$$
3) $$\alpha=20^\circ,\ b\approx 65{,}8,\ c\approx 88{,}6.$$
4) $$\gamma=119^\circ,\ a\approx 16{,}7,\ c\approx 24{,}8.$$
5) $$\gamma=68^\circ,\ a\approx 13{,}6,\ b\approx 11{,}2.$$