Упр.7.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: стороны параллелограмма равны 4 см и 7 см;
Выяснить: может ли одна из его диагоналей быть равной 2 см;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, у кторого AB=CD=4 см и
AD=BC=7 см;
2) Допустим, что его диагональ AC=2 см, в этом случае для треугольник ABC из
неравенства треугольника следует:
AC < AB+BC = > 2 < 4+7 = > 2 < 11-верно; AB < AC+BC = > 4 < 2+7 = > 4 < 9-верно; BC < AC+AB = > 7 < 4+2 = > 7 < 6-не верно; 4) Таким образом, диагональ AC не может быть равна 2 см; 5) Диагональ BD также не может быть равна 2 см, так как в этом случае у треугольника ABD: AB=4 см, AD=7 см и BD=2 см; Ответ: не может.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, где $$AB=CD=4\text{ см}$$ и $$AD=BC=7\text{ см}$$.

Предположим, что одна из диагоналей равна $$2\text{ см}$$. Рассмотрим сначала диагональ $$AC$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ должны выполняться неравенства треугольника:

$$AC<AB+BC,$$
$$AB<AC+BC,$$
$$BC<AC+AB.$$

Подставим значения:

$$2<4+7=11,$$
$$4<2+7=9,$$
$$7<4+2=6.$$

Последнее неравенство неверно, значит, треугольник $$ABC$$ с такими сторонами не существует. Следовательно, диагональ $$AC$$ не может быть равна $$2\text{ см}$$.

Аналогично, если бы $$BD=2\text{ см}$$, то в треугольнике $$ABD$$ стороны были бы равны $$4\text{ см}$$, $$7\text{ см}$$ и $$2\text{ см}$$, что также невозможно по неравенству треугольника.

Значит, ни одна из диагоналей параллелограмма со сторонами $$4\text{ см}$$ и $$7\text{ см}$$ не может быть равна $$2\text{ см}$$.