Упр.11.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Продолжения боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$. Найдите стороны треугольника $$AED$$, если $$AB=5\text{ см}$$, $$BC=10\text{ см}$$, $$CD=6\text{ см}$$, $$AD=15\text{ см}$$.
Так как $$AD \parallel BC$$, то углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные при секущей $$AE$$. Кроме того, $$\angle DEA = \angle BEC$$ как вертикальные. Значит, $$\triangle AED \sim \triangle BEC$$.
Из подобия треугольников получаем:
$$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$
Так как точки $$A, B, E$$ лежат на одной прямой, то
$$BE=AE-AB=AE-5.$$
Тогда
$$\frac{AE-5}{AE}=\frac{2}{3},$$
$$3(AE-5)=2AE,$$
$$3AE-15=2AE,$$
$$AE=15\text{ см}.$$
Следовательно,
$$BE=15-5=10\text{ см}.$$
Теперь найдём $$CE$$. В треугольнике $$ADE$$ отрезок $$BC$$ параллелен основанию $$AD$$, поэтому треугольники $$BEC$$ и $$DEA$$ подобны, и
$$\frac{CE}{DE}=\frac{BC}{AD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$
Но $$DE=CE+CD=CE+6$$, значит
$$\frac{CE}{CE+6}=\frac{2}{3},$$
$$3CE=2CE+12,$$
$$CE=12\text{ см}.$$
Тогда
$$DE=CE+CD=12+6=18\text{ см}.$$
Ответ: $$AE=15\text{ см},\; DE=18\text{ см}.$$
