Упр.6.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если у параллелограмма диагонали равны, то он является
прямоугольником;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, у которого AC=BD;
2) Противолежащие стороны и углы у параллелограмма равны:
угол C = углу A, угол B = углу D, AB=CD и BC=AD;
3) Треугольники ABC и BAD равны по третьему признаку, отсюда
угол A = углу B;
4) Таким образом, угол A = углу B = углу C = углу D, то есть в параллелограмме
ABCD все углы равны, следовательно он является прямоугольником
(задача 24), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, причём $$AC=BD$$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Кроме того, сторона $$AB$$ общая для треугольников $$ABC$$ и $$BAD$$.

Тогда в треугольниках $$ABC$$ и $$BAD$$:

$$AB=BA,$$
$$BC=AD,$$
$$AC=BD.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle BAD$$ по трём сторонам. Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle A=\angle B.$$

Но в параллелограмме соседние углы в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle B$$, получаем

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Следовательно, все углы параллелограмма прямые, то есть $$ABCD$$ — прямоугольник.