Упр.4.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°,
то этот треугольник равносторонний;
Доказательство:
1) Сумма углов в треугольнике равна 180° (теорема 4.4);
2) Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны;
3) Выразим неизвестный угол через x, тогда:
— Если даны углы при основании:
x+60°+60°=180°;
x=180°-2•60°=180°-120°=60°;
— Если дан угол между боковыми сторонами, тогда:
60°+x+x=180°;
2x=180°-60°=120°, отсюда x=120/2=60°;
4) В любом случае все углы данного треугольника равны 60°, значит
он является равносторонним, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть один из углов равен $$60^\circ$$.

1. Если это угол при основании, то второй угол при основании тоже равен $$60^\circ$$. Тогда третий угол:

$$ 180^\circ — 60^\circ — 60^\circ = 60^\circ. $$

2. Если это угол между боковыми сторонами, то два угла при основании равны между собой. Обозначим каждый из них через $$x$$. Тогда

$$ 60^\circ + x + x = 180^\circ, $$

$$ 2x = 120^\circ, $$

$$ x = 60^\circ. $$

Значит, во всех случаях все три угла треугольника равны $$60^\circ$$. Следовательно, треугольник равносторонний.