Упр.14.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: треугольник ABC; AC=a; BC=b;
Найти: при каком значении угла C площадь треугольника будет
наибольшей;
Решение:
1) Площадь треугольника ABC равна:
S=1/2•AC•BC•cos угла C=ab/2•sin угла C;
2) Синус угла не может быть больше единицы, это следует из
определения синуса острого угла как отношения противолежащего
катета к гипотензуе, а также из тождества sina=sin(180°-a), которое
означает, что синус любого тупого угла равен синусу, какого-нибудь
острого угла;
3) Следовательно, наибольшее значение S достигается при:
sin угла C=1, отсюда угол C=90°;
Ответ: угол C=90°.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними выражается формулой

$$S=\frac{1}{2}\,AC\cdot BC\cdot \sin \angle C.$$

Так как $$AC=a$$ и $$BC=b$$, то

$$S=\frac{ab}{2}\sin \angle C.$$

При фиксированных $$a$$ и $$b$$ площадь зависит только от значения $$\sin \angle C$$. Наибольшее значение синуса равно $$1$$, значит, площадь будет наибольшей при

$$\sin \angle C=1,$$

то есть при

$$\angle C=90^\circ.$$

Ответ

$$\angle C=90^\circ.$$