Упр.12.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше
медианы, проведенных из этой же вершины;
Доказательство:
1) В треугольник ABC проведем биссектрису BD, высоту BH и медиану BM;
2) BH является перпендикуляром к прямой AC, а BD-наклонной к
прямой AC, проведенной из той же точки B, значит по свойству
перпендикуляра и наклонных: BD > BH;
3) Пусть AB < BC, тогда угол C < угол A; 4) Рассмотрим треугольники ABH и CBH: угол AHB = углу CHB=90° и угол BCA < угол BAC, значит угол ABH < угол CBH; угол ABC = углу ABH+ угол CBH, следовательно угол ABH < 1/2 угол ABC; 5) По доказанному в предыдущей задаче: Если AB < BC, то угол ABM > угол CBM;
угол ABC = углу ABM+ угол CBM, следовательно угол CBM < 1/2 угол ABC; 6) AD-биссектриса, значит угол ABD = углу CBD=1/2 угол ABC; 7) Таким образом, луч BH проходит внутри угла ABD, а луч BM проходит внутри угла CBD, следовательно точка D лежит между точками H и M; 8) Аналогично доказывается, если AB > BC;
9) В треугольнике BHM, точка D лежит на стороне HM, значит по
доказанному в задаче 12.23, отрезок BD меньше по крайней мере одного
из отрезков BH или BM, но так как BD > BH, то BD < BM; 10) Если треугольник ABC-равнобедренный, то отрезки BH, BD и BM совпадают: BH=BD=BM; 11) Следовательно, в общем случае будет: BD > =BH и BD < =BM, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Проведём в треугольнике $$ABC$$ биссектрису $$BD$$, высоту $$BH$$ и медиану $$BM$$ из одной и той же вершины $$B$$.

Так как $$BH \perp AC$$, а $$BD$$ — наклонная к прямой $$AC$$, проведённая из той же точки $$B$$, то по свойству перпендикуляра и наклонной имеем:

$$BD>BH.$$

Докажем теперь, что $$BD\le BM$$.

Пусть сначала $$AB<BC$$. Тогда $$\angle C<\angle A$$. Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. Имеем:

$$\angle AHB=\angle CHB=90^\circ,$$

а также $$\angle BCA<\angle BAC$$, значит $$\angle ABH<\angle CBH$$.

Следовательно,

$$\angle ABC=\angle ABH+\angle CBH,$$

откуда

$$\angle ABH<\frac12\angle ABC.$$

По доказанному ранее: если $$AB<BC$$, то $$\angle ABM>\angle CBM$$. Тогда

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle CBM,$$

следовательно,

$$\angle CBM<\frac12\angle ABC.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса, то

$$\angle ABD=\angle CBD=\frac12\angle ABC.$$

Значит, луч $$BH$$ проходит внутри угла $$ABD$$, а луч $$BM$$ — внутри угла $$CBD$$, поэтому точка $$D$$ лежит между точками $$H$$ и $$M$$.

В треугольнике $$BHM$$ точка $$D$$ лежит на стороне $$HM$$. Тогда отрезок $$BD$$ меньше большего из отрезков $$BH$$ и $$BM$$. Но уже известно, что $$BD>BH$$, значит

$$BD<BM.$$

Если $$AB>BC$$, рассуждение проводится аналогично. В случае равнобедренного треугольника $$AB=BC$$ высота, биссектриса и медиана из вершины $$B$$ совпадают, то есть

$$BH=BD=BM.$$

Итак, в общем случае получаем:

$$BD\ge BH,\qquad BD\le BM.$$