Упр.3.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный, если у него: 1) медиана \(BD\) является высотой; 2) высота \(BD\) является биссектрисой; 3) биссектриса \(BD\) является медианой.
1) Пусть $$BD$$ — медиана и высота треугольника $$ABC$$.
Тогда $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$AD=DC$$. Кроме того, так как $$BD$$ — высота, то $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$.
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:
- $$BD$$ — общая сторона;
- $$AD=DC$$;
- $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$.
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AB=BC$$, значит $$\triangle ABC$$ равнобедренный.
2) Пусть теперь $$BD$$ — высота и биссектриса треугольника $$ABC$$.
Тогда $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$, а из свойства биссектрисы получаем $$\angle ABD=\angle CBD$$.
В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$:
- $$BD$$ — общая сторона;
- $$\angle BDA=\angle BDC$$;
- $$\angle ABD=\angle CBD$$.
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по стороне и двум прилежащим углам. Значит, $$AB=BC$$, то есть $$\triangle ABC$$ равнобедренный.
3) Пусть $$BD$$ — биссектриса и медиана треугольника $$ABC$$.
Так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC$$. Так как $$BD$$ — биссектриса, то $$\angle ABD=\angle CBD$$.
На прямой $$BD$$ отложим отрезок $$DB_1=BD$$. Тогда углы $$\angle CDB$$ и $$\angle ADB_1$$ равны как вертикальные.
Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$ADB_1$$. У них:
- $$BD=DB_1$$;
- $$DC=DA$$;
- $$\angle CDB=\angle ADB_1$$.
Следовательно, $$\triangle CBD \cong \triangle ADB_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$BC=AB_1$$ и $$\angle DBC=\angle DB_1A$$.
Теперь в треугольнике $$ABB_1$$ углы при основании равны, значит $$AB=AB_1$$. Тогда
$$AB=AB_1=BC.$$
Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.
