Упр.13.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса $$R$$.
Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{10}$$ — правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Тогда точки $$A_1,A_3,A_5,A_7,A_9$$ образуют правильный пятиугольник, и его сторона обозначим через $$a_5$$. Пусть сторона десятиугольника равна $$a_{10}$$.
Центральный угол десятиугольника равен
$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$
В треугольнике $$A_1OA_2$$ имеем $$OA_1=OA_2=R$$, поэтому по теореме косинусов
$$a_{10}^2=A_1A_2^2=R^2+R^2-2R^2\cos36^\circ.$$
Отсюда
$$a_{10}=2R\sin18^\circ=R\cdot \frac{\sqrt5-1}{2}.$$
Теперь найдём сторону пятиугольника. Центральный угол между соседними вершинами правильного пятиугольника равен
$$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ,$$
а соответствующий ему вписанный хорда-сторона выражается формулой
$$a_5=2R\sin36^\circ.$$
Из известного значения
$$\sin36^\circ=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}},$$
получаем
$$a_5=2R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}}=R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$
Ответ: $$a_{10}=R\cdot \frac{\sqrt5-1}{2},\qquad a_5=R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$
