Упр.12.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из этой же вершины.

Подробный ответ

Проведём в треугольнике $$ABC$$ биссектрису $$BD$$, высоту $$BH$$ и медиану $$BM$$ из одной и той же вершины $$B$$.

Так как $$BH \perp AC$$, а $$BD$$ — наклонная к прямой $$AC$$, проведённая из той же точки $$B$$, то по свойству перпендикуляра и наклонной

$$BD>BH.$$

Докажем теперь, что $$BD\le BM$$.

Пусть сначала $$AB<BC$$. Тогда $$\angle C<\angle A$$. Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. Имеем

$$\angle AHB=\angle CHB=90^\circ,$$

а также $$\angle BCA<\angle BAC$$, значит $$\angle ABH<\angle CBH$$. Поэтому

$$\angle ABC=\angle ABH+\angle CBH,$$

следовательно,

$$\angle ABH<\frac12\angle ABC.$$

По свойству медианы, проведённой к стороне треугольника, из предыдущей задачи получаем:

если $$AB<BC$$, то $$\angle ABM>\angle CBM$$. Тогда

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle CBM,$$

откуда

$$\angle CBM<\frac12\angle ABC.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса, то

$$\angle ABD=\angle CBD=\frac12\angle ABC.$$

Значит, луч $$BH$$ лежит внутри угла $$ABD$$, а луч $$BM$$ — внутри угла $$CBD$$, поэтому точка $$D$$ лежит между точками $$H$$ и $$M$$. Тогда в треугольнике $$BHM$$ отрезок $$BD$$ меньше большего из отрезков $$BH$$ и $$BM$$. Но уже известно, что $$BD>BH$$, следовательно,

$$BD<BM.$$

Если $$AB>BC$$, рассуждение проводится аналогично.

В случае равнобедренного треугольника $$AB=BC$$ высота, биссектриса и медиана, проведённые из вершины $$B$$, совпадают, то есть

$$BH=BD=BM.$$

Итак, во всех случаях

$$BH\le BD\le BM.$$

Ответ: $$BH\le BD\le BM$$.