Упр.9.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Даны три попарно пересекающиеся прямые $$a$$, $$b$$, $$c$$. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой $$b$$, с серединой на прямой $$b$$ и концами на прямых $$a$$ и $$c$$ (рис. 212)? Всегда ли задача имеет решение?
Пусть $$B=a\cap c,$$ $$C=a\cap b.$$ Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$b$$:
- Через точку $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$b$$, и обозначим точку её пересечения с $$b$$ через $$O$$.
- На этой же прямой по другую сторону от $$b$$ отложим точку $$B’$$ так, чтобы $$OB’=OB$$.
- Проведём прямую $$CB’$$.
- Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямых $$CB’$$ и $$c$$.
- Через точку $$E$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$b$$, и обозначим через $$F$$ её пересечение с прямой $$a$$.
Докажем, что отрезок $$EF$$ — искомый.
Так как $$B’$$ симметрична точке $$B$$ относительно прямой $$b$$, то прямая $$b$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$. Значит, $$b$$ перпендикулярна $$BB’$$ и проходит через середину этого отрезка.
Кроме того, точки $$C$$ и $$E$$ лежат на прямой $$c$$, а точки $$B$$ и $$F$$ лежат на прямой $$a$$. Из построения следует, что прямая $$b$$ является осью симметрии для соответствующих частей чертежа, поэтому она проходит через середину отрезка $$EF$$ и перпендикулярна ему.
Следовательно, отрезок $$EF$$ перпендикулярен прямой $$b$$ и имеет середину на этой прямой. Его концы лежат на прямых $$a$$ и $$c$$, значит $$EF$$ — искомый отрезок.
Задача не всегда имеет решение: построение возможно не для любых трёх попарно пересекающихся прямых $$a$$, $$b$$ и $$c$$, а лишь в тех случаях, когда указанная конструкция даёт точки $$E$$ и $$F$$ на нужных прямых.
