Упр.15.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно $$a$$, а угол основания равен $$60^\circ$$.

Рассмотрим прямой параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, у которого все рёбра равны $$a$$, а $$\angle BAD=60^\circ$$.

Тогда в основании $$ABCD$$ угол $$\angle ABC$$ равен

$$\angle ABC=180^\circ-\angle BAD=120^\circ.$$

Найдём диагонали параллелепипеда.

1) В треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC$$

$$AC^2=a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ =a^2+a^2-2a^2\cdot\left(-\frac12\right)=3a^2.$$

Значит,

$$AC=a\sqrt3.$$

2) В треугольнике $$ABD$$ по теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD$$

$$BD^2=a^2+a^2-2a^2\cos60^\circ =2a^2-2a^2\cdot\frac12=a^2.$$

Следовательно,

$$BD=a.$$

3) Теперь найдём пространственные диагонали.

В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$:

$$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} =\sqrt{3a^2+a^2} =\sqrt{4a^2}=2a.$$

В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$:

$$DB_1=\sqrt{BD^2+BB_1^2} =\sqrt{a^2+a^2} =\sqrt{2a^2}=a\sqrt2.$$

Итак, диагонали прямого параллелепипеда равны $$2a$$ и $$a\sqrt2$$.

Ответ: $$2a$$ и $$a\sqrt2$$.