Упр.9.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: три попарно пересекающиеся прямые a, b и c;
Построить: отрезок, перпендикулярный прямой b с серединой на этой
прямой и концами на прямых a и c;
Построение:
1) Пусть a, b и c-данные прямые, B-точка пересечения прямых a и c,
C-точкаа пересечения прямых b и a.
2) Найдем точку B’, симметричную точке B оносительно прямой b:
— Через точку B проведем прямую, перпендикулярную прямой b;
— От точки пересечения O этих прямых отложим отрезок B’ O=OB;
3) Проведем прямую CB’;
4) На пересечении прямых CB’ и c отметим точку E;
5) Через точку E проведем прямую, перпендикулярную прямой b и
отметим точку F на пересечении этой прямой и прямой a;
6) Прямая b является осью симметрии и биссектрисой угла BCB’,
значит она является медианой и высотой треугольника ECF, у
которого вершины E и F лежат на сторонах угла BCB’;
7) Значит отрезок EF-искомый

Обозначим через $$B$$ точку пересечения прямых $$a$$ и $$c$$, а через $$C$$ — точку пересечения прямых $$a$$ и $$b$$.

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$b$$:

• через точку $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$b$$;
• пусть $$O$$ — точка пересечения этой прямой с прямой $$b$$;
• на продолжении полученной прямой отложим точку $$B’$$ так, чтобы $$OB’=OB$$.

Тогда прямая $$b$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$.

Проведём прямую $$CB’$$ и обозначим через $$E$$ точку её пересечения с прямой $$c$$. Через точку $$E$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$b$$, и обозначим через $$F$$ точку её пересечения с прямой $$a$$.

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на сторонах угла $$BCB’$$, а прямая $$b$$ является его осью симметрии, то она является и биссектрисой этого угла. Следовательно, в треугольнике $$ECF$$ прямая $$b$$ проходит через середину отрезка $$EF$$ и перпендикулярна ему.

Значит, отрезок $$EF$$ перпендикулярен прямой $$b$$ и имеет середину на этой прямой. Его концы лежат на прямых $$a$$ и $$c$$, поэтому $$EF$$ — искомый отрезок.

Задача не всегда имеет решение: построение возможно лишь тогда, когда прямая $$CB’$$ пересекает прямую $$c$$ в точке $$E$$, а через эту точку прямая, перпендикулярная $$b$$, пересекает прямую $$a$$. В общем случае такое построение может оказаться невозможным.

Ответ

Построить точку $$B’$$, симметричную $$B$$ относительно $$b$$, затем провести $$CB’$$, найти $$E=CB’\cap c$$ и через $$E$$ провести прямую, перпендикулярную $$b$$; её пересечение с $$a$$ обозначить $$F$$. Отрезок $$EF$$ — искомый. Решение существует не всегда.