Упр.14.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $$73\ \text{см}$$, а площадь равна $$1320\ \text{см}^2$$?

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$x$$ и $$y$$, а гипотенузу — через $$73$$ см.

По формуле площади прямоугольного треугольника имеем:

$$S=\frac{1}{2}xy=1320,$$

откуда

$$xy=2640.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=73^2=5329.$$

Сложим и вычтем полученные равенства:

$$x^2+y^2-2xy=5329-5280,$$

так как $$2xy=5280$$, значит

$$x^2+y^2-2xy=49,$$

то есть

$$\left(x-y\right)^2=49.$$

Следовательно,

$$x-y=7$$

или $$y-x=7.$$

Пусть $$x=y+7$$. Тогда из $$xy=2640$$ получаем:

$$\left(y+7\right)y=2640,$$

$$y^2+7y-2640=0.$$

Дискриминант:

$$D=7^2+4\cdot 2640=49+10560=10609=103^2.$$

Тогда

$$y=\frac{-7+103}{2}=48,$$

а

$$x=48+7=55.$$

Значит, катеты прямоугольного треугольника равны $$55$$ см и $$48$$ см.

Ответ: $$55$$ см и $$48$$ см.