Упр.13.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле $$a_{12}=R\sqrt{2-\sqrt{3}}$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Найдём центральный угол правильного двенадцатиугольника:

$$\beta=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{12}$$ — правильный 12-угольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$. Тогда

$$\angle A_1OA_2=30^\circ,\qquad OA_1=OA_2=R.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1OA_2$$. По теореме косинусов:

$$A_1A_2^2=OA_1^2+OA_2^2-2\cdot OA_1\cdot OA_2\cdot \cos \angle A_1OA_2.$$

Подставим известные значения:

$$a^2=R^2+R^2-2R^2\cos 30^\circ.$$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$ получаем

$$a^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2R^2-R^2\sqrt3=R^2(2-\sqrt3).$$

Следовательно,

$$a_{12}=R\sqrt{2-\sqrt3}.$$

Ответ: $$a_{12}=R\sqrt{2-\sqrt3}.$$