Упр.12.24 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. $$CD$$ — медиана, проведённая к стороне $$AB$$. Докажите, что если $$AC>BC$$, то угол $$ACD$$ меньше угла $$BCD$$.

Пусть на луче $$CD$$ отложен отрезок $$DE=CD$$.

Так как $$CD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$AD=DB$$. Кроме того, по построению $$CD=DE$$. Следовательно, четырёхугольник $$AEBC$$ — параллелограмм, значит

$$AE=BC,\qquad EB=AC.$$

По условию $$AC>BC$$, а так как $$AE=BC$$, то $$AC>AE$$.

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. В нём сторона $$AC$$ лежит против угла $$AEC$$, а сторона $$AE$$ — против угла $$ACD$$. Большей стороне противолежит больший угол, значит

$$\angle ACD<\angle AEC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACE$$ и $$BCE$$: у них общая сторона $$CE$$, а также $$AC=EB$$ и $$AE=BC$$. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам, откуда

$$\angle AEC=\angle BCD.$$

Тогда

$$\angle ACD<\angle BCD.$$

Ответ: $$\angle ACD<\angle BCD$$.