Упр.9.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

9.23. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.

Подробный ответ

Пусть прямая $$AB$$ проходит через центр $$O$$ окружности и пересекает её в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AB$$ — диаметр окружности.

Возьмём произвольную точку $$X$$ окружности и опустим из неё перпендикуляр $$XM$$ на прямую $$AB$$. На окружности найдётся точка $$X’$$, симметричная точке $$X$$ относительно прямой $$AB$$.

Так как $$OX=OX’=R$$, то точки $$X$$ и $$X’$$ лежат на окружности, а прямая $$AB$$ проходит через центр окружности. В равнобедренном треугольнике $$OXX’$$ перпендикуляр $$OM$$ к основанию $$XX’$$ является и медианой, значит

$$XM=MX’.$$

Следовательно, точки $$X$$ и $$X’$$ симметричны относительно прямой $$AB$$. Поскольку точка $$X$$ была выбрана произвольно, любая точка окружности при отражении относительно прямой $$AB$$ переходит в другую точку этой же окружности.

Значит, прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.