Упр.7.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — произвольная хорда окружности с центром в точке $$O$$. Тогда $$OA=OB=R$$, где $$R$$ — радиус окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По неравенству треугольника имеем

$$AB\le OA+OB=R+R=2R.$$

Но $$2R$$ — это диаметр окружности, значит

$$AB\le d.$$

Равенство $$AB=d$$ возможно только тогда, когда точки $$A$$, $$O$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, то есть хорда проходит через центр окружности. В этом случае хорда является диаметром.

Следовательно, любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.