Упр.12.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник ABC; точка D лежит на стороне AB;
Доказать: CD меньше по крайней мере одной из сторон AC или BC;
Доказательство:
1) Если один из углов A или B тупой, то по доказанному в задаче 12.21:
CD < AC (когда угол B тупой) и CD < CB (когда угол A тупой); 2) Рассмотрим случай, когда углы A и B острые; 3) Из точки C опустим перпендикуляр CH на прямую AB; 4) Углы A и B острые, значит смежные с ними углы тупые, отсюда следует, что точка C лежит между точками A и B, так как иначе в одном из треугольников ACH или BCH был бы только один острый угол, что невозможно; 5) Точки D и H лежат между точками A и B, значит: AH=AD+DH или BH=BD+DH, следовательно отрезок DH меньше по крайней мере одного из отрезков AH или BH; 6) AH-проекция наклонной AC, HB-проекция наклонной CB и DH-проекция наклонной CD на прямую AB, значит по теореме о наклонных, проведенных из одной точки, и их проекциях: CD < AC или CD < CB, что и требовалось доказать;

Подробный ответ

Рассмотрим два случая.

1. Если один из углов $$A$$ или $$B$$ тупой, то по результату задачи $$12.21$$ получаем:

при тупом угле $$B$$ имеем $$CD<AC$$, а при тупом угле $$A$$ имеем $$CD<BC$$.

2. Пусть углы $$A$$ и $$B$$ острые. Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на прямую $$AB$$.

Так как углы $$A$$ и $$B$$ острые, то точка $$C$$ лежит между точками $$A$$ и $$B$$. Действительно, иначе в одном из треугольников $$ACH$$ или $$BCH$$ был бы только один острый угол, что невозможно.

Точки $$D$$ и $$H$$ лежат на отрезке $$AB$$, значит точка $$H$$ находится между $$A$$ и $$B$$. Поэтому

$$AH=AD+DH \quad \text{или} \quad BH=BD+DH.$$

Следовательно, отрезок $$DH$$ меньше по крайней мере одного из отрезков $$AH$$ или $$BH$$.

Теперь заметим, что $$AH$$ — проекция наклонной $$AC$$ на прямую $$AB$$, $$BH$$ — проекция наклонной $$BC$$, а $$DH$$ — проекция наклонной $$CD$$. По теореме о наклонных и их проекциях из одной точки получаем:

если $$DH<AH$$, то $$CD<AC$$; если $$DH<BH$$, то $$CD<BC$$.

Значит, $$CD$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$.