Упр.11.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m : n. В каком отношении она делит другое основание?

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, $$AD \parallel BC$$, диагонали пересекаются в точке $$E$$. Прямая $$MN$$ проходит через точку $$E$$, причём $$M \in AD$$, $$N \in BC$$.

По условию

$$\frac{AM}{MD}=\frac{m}{n}.$$

Рассмотрим треугольники $$AEM$$ и $$CEN$$. Углы $$\angle AEM$$ и $$\angle CEN$$ — вертикальные, а углы $$\angle A M E$$ и $$\angle C N E$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$MN$$. Значит,

$$\triangle AEM \sim \triangle CEN,$$

откуда

$$\frac{AM}{CN}=\frac{ME}{EN}.$$

Аналогично, треугольники $$DEM$$ и $$BEN$$ подобны: углы $$\angle DEM$$ и $$\angle BEN$$ вертикальные, а углы при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$ равны. Поэтому

$$\triangle DEM \sim \triangle BEN,$$

и значит

$$\frac{DM}{BN}=\frac{ME}{EN}.$$

Из двух равенств получаем

$$\frac{AM}{CN}=\frac{DM}{BN}.$$

Так как $$\frac{AM}{MD}=\frac{m}{n},$$ то можно положить $$AM=km$$, $$MD=kn$$. Тогда из равенства $$\frac{AM}{CN}=\frac{DM}{BN}$$ следует, что

$$\frac{CN}{BN}=\frac{AM}{DM}=\frac{m}{n},$$

то есть

$$\frac{BN}{CN}=\frac{n}{m}.$$

Следовательно, другая основание делится в отношении $$n:m$$.

Ответ

$$n:m$$.