Упр.3.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: треугольники, у которых угол, биссетриса данного угла и
прилежащая к ней сторона равны являются равными;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 B1 C1-данные треугольники, у которых: угол A = углу A1,
AD=A1 D1 (биссектрисы) и AB=A1 B1;
2) Так как AD и A1 D1 биссектрисы, то: угол BAD=1/2 угол A=1/2 угол C = углу B1 A1 D1;
3) Треугольники ABD и A1 B1 D1 равны по первому признаку, тогда
угол B = углу B1;
4) Треугольники BAC и B1 A1 C1 равны по второму признаку, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть даны треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, в которых $$\angle A=\angle A_1$$, $$AD=A_1D_1$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, и $$AB=A_1B_1$$.

Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle B_1A_1D_1=\frac{1}{2}\angle A_1.$$

Но $$\angle A=\angle A_1$$, значит

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AB=A_1B_1,\quad AD=A_1D_1,\quad \angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1.$$

Так как точки $$D$$ и $$D_1$$ лежат на биссектрисах, то лучи $$BD$$ и $$B_1D_1$$ делят углы при вершинах $$B$$ и $$B_1$$ соответственно, а значит равенство углов при основании приводит к равенству треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, треугольники, у которых равны угол, биссектриса этого угла и прилежащая к ней сторона, равны.