Упр.3.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — данные треугольники, у которых $$\angle A=\angle A_1$$, $$AD=A_1D_1$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, и $$AB=A_1B_1$$.

Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle B_1A_1D_1=\frac{1}{2}\angle A_1.$$

Но $$\angle A=\angle A_1$$, значит $$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$$.

Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AB=A_1B_1,\quad AD=A_1D_1,\quad \angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Отсюда получаем $$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1$$. Так как точки $$D$$ и $$D_1$$ лежат на биссектрисах, то лучи $$BD$$ и $$B_1D_1$$ делят соответствующие углы, а значит

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$AB=A_1B_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.