Упр.15.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
В прямом параллелепипеде стороны основания $$3\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$, а одна из диагоналей основания $$4\ \text{см}$$. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$.
Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — данный прямой параллелепипед. Тогда $$AB=3$$ см, $$AD=5$$ см, $$BD=4$$ см, а меньшая пространственная диагональ $$DB_1$$ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$.
Найдём сначала диагональ основания $$AC$$. В треугольнике $$ABD$$:
$$AB^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25=AD^2,$$
значит, $$\angle ABD=90^\circ$$. Тогда
$$\cos \angle BAD=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{5}.$$
В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, поэтому
$$\angle ADC=180^\circ-\angle BAD,$$
и
$$\cos \angle ADC=\cos(180^\circ-\angle BAD)=-\cos \angle BAD=-\frac{3}{5}.$$
По теореме косинусов в треугольнике $$ACD$$:
$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle ADC$$
$$AC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=25+9+18=52,$$
следовательно, $$AC=\sqrt{52}$$ см.
Теперь найдём высоту параллелепипеда. В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$:
$$\tan \angle BDB_1=\frac{BB_1}{BD},$$
откуда
$$BB_1=BD\cdot \tan 60^\circ=4\sqrt{3}\text{ см}.$$
Большая пространственная диагональ равна $$AC_1$$. В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$:
$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=52+(4\sqrt{3})^2=52+48=100,$$
значит,
$$AC_1=10\text{ см}.$$
Ответ: $$10$$ см.
