Упр.13.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что сторона правильного восьмиугольника вычисляется по формуле $$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Подробный ответ

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_8$$ — правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$. Тогда все его стороны равны, а центральные углы равны между собой.

Найдём центральный угол правильного восьмиугольника:

$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1OA_2$$. В нём

$$OA_1=OA_2=R,$$

а сторона $$A_1A_2=a_8$$.

По теореме косинусов:

$$A_1A_2^2=OA_1^2+OA_2^2-2\cdot OA_1\cdot OA_2\cdot \cos \angle A_1OA_2.$$

Подставим значения:

$$a_8^2=R^2+R^2-2R^2\cos 45^\circ.$$

Так как $$\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем

$$a_8^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2R^2-R^2\sqrt{2}=R^2(2-\sqrt{2}).$$

Следовательно,