Упр.11.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении $$m:n$$. В каком отношении она делит другое основание?

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, диагонали которой пересекаются в точке $$E$$. Прямая $$MN$$ проходит через точку $$E$$, причём $$M \in AD$$, $$N \in BC$$, и

$$\frac{AM}{MD}=\frac{m}{n}.$$

Докажем, в каком отношении она делит другое основание.

Так как $$AD \parallel BC$$, то

$$\angle DAC=\angle BCA,$$

как внутренние накрест лежащие углы при секущей $$AC$$.

Кроме того,

$$\angle AEM=\angle CEN,$$

как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AEM \sim \triangle CEN$$ по двум углам, значит

$$\frac{AM}{CN}=\frac{ME}{EN}.$$

Аналогично,

$$\angle DBC=\angle BDA,$$

как внутренние накрест лежащие углы при секущей $$BD$$, и

$$\angle DEM=\angle BEN$$

как вертикальные. Тогда $$\triangle DEM \sim \triangle BEN$$, откуда

$$\frac{DM}{BN}=\frac{ME}{EN}.$$

Из двух равенств получаем:

$$\frac{AM}{CN}=\frac{DM}{BN}.$$

Так как $$\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{m}{n}$$, то можно положить $$AM=m k$$, $$MD=n k$$. Тогда

$$CN=n k,\qquad BN=m k,$$

и, значит,

$$\frac{BN}{CN}=\frac{m}{n}.$$

Следовательно, другая основа делится в отношении $$n:m$$.

Ответ: $$n:m$$.