Упр.2.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Дано: угол AOB и угол COB-смежные; луч OD проведен в ту же полуплос-
кость, что и луч OB;
Доказать: луч OD пересекает отрезок AB или отрезок BC;
Определить: какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD < угол AOB;
I) Доказательство:
1) Точка O разбивает прямую AC на две полупрямых OA и AC;
2) Продолжим луч OD до прямой, эта прямая будет разбивать плоскость
на две полуплоскости;
3) Точки A и C будет находиться в разных полуплоскостях;
4) Точка B может находиться только в одной из полуплоскостей, значит
луч OD пересекает либо отрезок AB, либо отрезок BC, что и требовалось
Доказать.
II) Решение:
1) Если угол AOD < угол AOB, то луч OD проходит внутри угла AOB, значит
точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно прямой OD,
тогда луч OD пересекает отрезок AB;
2) Если угол AOD > угол AOB, то луч OD проходит вне угла AOB, значит он
проходит внутри угла BOC, тогда он пересекает отрезок BC;
Так как углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ смежные, то точки $$A$$, $$O$$, $$C$$ лежат на одной прямой, а лучи $$OA$$ и $$OC$$ — противоположные.
Луч $$OD$$ проведён в ту же полуплоскость относительно прямой $$AC$$, что и луч $$OB$$. Поэтому луч $$OD$$ вместе с точкой $$O$$ делит эту полуплоскость на две части: одну, содержащую точку $$A$$, и другую, содержащую точку $$C$$. Точка $$B$$ лежит по одну сторону от прямой $$OD$$, а точки $$A$$ и $$C$$ — по разные стороны.
Следовательно, луч $$OD$$ должен пересечь либо отрезок $$AB$$, либо отрезок $$BC$$.
Теперь рассмотрим, какой именно отрезок пересекает луч $$OD$$.
Если $$\angle AOD < \angle AOB$$, то луч $$OD$$ лежит внутри угла $$AOB$$. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ находятся по разные стороны от прямой $$OD$$, значит, луч $$OD$$ пересекает отрезок $$AB$$.
Если $$\angle AOD > \angle AOB$$, то луч $$OD$$ выходит за пределы угла $$AOB$$ и попадает внутрь угла $$BOC$$. В этом случае точки $$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$OD$$, значит, луч $$OD$$ пересекает отрезок $$BC$$.
Ответ
Луч $$OD$$ пересекает либо отрезок $$AB$$, либо отрезок $$BC$$. Если $$\angle AOD < \angle AOB$$, то он пересекает $$AB$$; если $$\angle AOD > \angle AOB$$, то он пересекает $$BC$$.
