Упр.8.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что четыре точки $$\left(1; 0\right),\ \left(-1; 0\right),\ \left(0; 1\right),\ \left(0; -1\right)$$ являются вершинами квадрата.

Пусть $$A(1;0),\ B(-1;0),\ C(0;1),\ D(0;-1).$$

Найдём длины сторон и диагоналей четырёхугольника $$ACBD$$:

$$AC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2,$$
$$CB=\sqrt{(0-(-1))^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2,$$
$$BD=\sqrt{((-1)-0)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2,$$
$$DA=\sqrt{(0-1)^2+((-1)-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника $$ACBD$$ равны:

$$AC=CB=BD=DA=\sqrt2.$$

Значит, $$ACBD$$ — ромб.

Теперь найдём его диагонали:

$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$CD=\sqrt{(0-0)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{4}=2.$$

Диагонали ромба равны, а значит, этот ромб является квадратом.

Итак, точки $$A(1;0),\ B(-1;0),\ C(0;1),\ D(0;-1)$$ являются вершинами квадрата.