Упр.12.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Дано: треугольник ABC; угол C-тупой; точка X лежит на стороне AC;
точка Y лежит на стороне BC;
Доказать: XY < AB;
Доказательство:
1) Как было доказано в предыдущей задаче: BX < AB;
2) Из точки X опустим перпендикуляр XH на прямую BC;
3) Угол C тупой, значит точка H лежит по другую сторону от точки B
относительно точки C, так как иначе в треугольнике XCH был бы
только один острый угол, что невозможно;
3) Точка Y лежит между точками C и B, значит:
HY=HC+CY и HB=HC+CY+YB, следовательно HY < YB;
4) HY-проекция наклонной XY, а HB-проекция наклонной XB на
прямую BC, значит по теореме о наклонных, проведенных из одной
точки, и их проекциях: XY < BX;
5) XY < BX и BX < AB, значит XY < AB, что и требовалось доказать.
Рассмотрим точку $$X$$ на стороне $$AC$$ и опустим из неё перпендикуляр $$XH$$ на прямую $$BC$$.
Так как $$\angle C$$ тупой, то основание перпендикуляра $$H$$ лежит на продолжении прямой $$BC$$ за точкой $$C$$. Иначе в треугольнике $$XCH$$ получился бы только один острый угол, что невозможно.
Точка $$Y$$ лежит на стороне $$BC$$ между точками $$C$$ и $$B$$, поэтому
$$HY=HC+CY,$$
а также
$$HB=HC+CB=HC+CY+YB.$$
Следовательно, $$HY<HB$$.
Теперь рассмотрим наклонные $$XY$$ и $$XB$$, проведённые из точки $$X$$ к прямой $$BC$$. Их проекции на прямую $$BC$$ равны соответственно $$HY$$ и $$HB$$. Так как $$HY<HB$$, то по теореме о наклонных
$$XY<XB.$$
С другой стороны, в треугольнике $$ABC$$ точка $$X$$ лежит на стороне $$AC$$, значит $$BX<AB$$.
Тогда
$$XY<XB<AB,$$
откуда
$$XY<AB.$$
Ответ
$$XY<AB$$
