Вопрос 22 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника лежат на окружности Эйлера.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ — середины его сторон, точки $$A_2, B_2, C_2$$ — основания высот, а точки $$H_1, H_2, H_3$$ — середины отрезков, соединяющих ортоцентр $$H$$ с вершинами треугольника.
Докажем, что все эти точки лежат на одной окружности.
Так как $$C_1$$ и $$H_2$$ — середины сторон угла $$ABH$$, то по теореме Фалеса прямая $$C_1H_2$$ параллельна $$AH$$. Аналогично, прямая $$B_1H_3$$ параллельна $$AH$$.
Следовательно, $$C_1H_2 \parallel B_1H_3$$.
Кроме того, $$C_1B_1$$ и $$H_2H_3$$ — средние линии треугольников $$BCA$$ и $$BCH$$ с общим основанием $$BC$$, значит
$$C_1B_1 \parallel H_2H_3.$$
Итак, четырёхугольник $$C_1B_1H_3H_2$$ — параллелограмм. Но $$AH \perp BC$$, поэтому $$C_1H_2 \perp C_1B_1$$. Значит, этот параллелограмм является прямоугольником.
Аналогично доказывается, что четырёхугольник $$C_1H_1H_3A_1$$ тоже является прямоугольником.
Из свойств прямоугольника получаем:
$$A_1H_1 = B_1H_2 = C_1H_3,$$
и эти отрезки пересекаются в одной точке $$O$$ — центре описанной окружности прямоугольников. Следовательно, точки $$A_1, B_1, C_1, H_1, H_2, H_3$$ лежат на одной окружности с центром $$O$$. Это и есть окружность Эйлера.
Теперь покажем, что на этой же окружности лежат основания высот. Так как $$A_1A_2 \perp H_1A_2$$ и $$A_1H_1 \perp A_2H_1$$, то точки $$A_1, A_2, H_1$$ лежат на окружности с диаметром $$A_1H_1$$. Но $$A_1H_1$$ — диаметр окружности Эйлера, значит $$A_2$$ лежит на ней.
Аналогично получаем, что на окружности Эйлера лежат и точки $$B_2$$, $$C_2$$.
Таким образом, середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, и основания высот лежат на одной окружности.
