Упр.3.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ лежат на одной прямой, причём отрезки $$AB$$ и $$CD$$ имеют общую середину. Докажите, что если треугольник $$ABE$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то треугольник $$CDE$$ тоже равнобедренный с основанием $$CD$$ (рис. 64).

Пусть точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ лежат на одной прямой, а точки $$A$$ и $$B$$ — середины отрезков $$CO$$ и $$OD$$ соответственно, то есть $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Рассмотрим треугольник $$ABE$$.

Так как $$\triangle ABE$$ равнобедренный, то

$$AE=BE,$$

а его углы при основании равны:

$$\angle EAB=\angle EBA.$$

Поскольку точки $$C,\ A,\ O,\ B,\ D$$ лежат на одной прямой, углы $$\angle EAC$$ и $$\angle EAB$$ смежные, а углы $$\angle EBD$$ и $$\angle EBA$$ смежные. Следовательно,

$$\angle EAC=\angle EBD.$$

Кроме того, из условий $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$ получаем:

$$CA=CO-AO,\qquad DB=DO-OB,$$

значит,

$$CA=DB.$$

Рассмотрим треугольники $$CAE$$ и $$DBE$$. В них:

• $$AE=BE$$;
• $$CA=DB$$;
• $$\angle EAC=\angle EBD.$$

Следовательно, $$\triangle CAE \cong \triangle DBE$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$CE=DE.$$

Значит, треугольник $$CDE$$ равнобедренный с основанием $$CD$$.

Ответ

$$CE=DE,$$ поэтому $$\triangle CDE$$ равнобедренный.