Упр.2.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из вершины О смежных углов $$\angle АОВ$$ и $$\angle СОВ$$ проведён луч $$OD$$ в полуплоскость, где проходит общая сторона $$ОВ$$ углов (рис. 43). Докажите, что луч $$OD$$ пересекает либо отрезок $$AB$$, либо отрезок $$BC$$. Какой из отрезков пересекает луч $$OD$$, если угол $$AOD$$ меньше (больше) угла $$АОВ$$? Объясните ответ.

Так как углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ смежные, точки $$A$$, $$O$$, $$C$$ лежат на одной прямой, а точки $$A$$ и $$C$$ находятся по разные стороны от прямой, проходящей через луч $$OD$$.

Продолжим луч $$OD$$ до прямой. Эта прямая разделит плоскость на две полуплоскости. Точка $$B$$ может лежать только в одной из них, а точки $$A$$ и $$C$$ — в разных. Значит, прямая $$OD$$ пересекает либо отрезок $$AB$$, либо отрезок $$BC$$.

Теперь рассмотрим, какой именно отрезок пересекает луч $$OD$$.

Если $$\angle AOD<\angle AOB$$, то луч $$OD$$ проходит внутри угла $$AOB$$. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$OD$$, следовательно, луч $$OD$$ пересекает отрезок $$AB$$.

Если $$\angle AOD>\angle AOB$$, то луч $$OD$$ расположен вне угла $$AOB$$ и попадает внутрь угла $$BOC$$. В этом случае точки $$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$OD$$, значит, луч $$OD$$ пересекает отрезок $$BC$$.

Ответ: луч $$OD$$ пересекает либо $$AB$$, либо $$BC$$; при $$\angle AOD<\angle AOB$$ он пересекает $$AB$$, при $$\angle AOD>\angle AOB$$ — $$BC$$.