Упр.14.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса $$R$$.

Пусть $$a$$ — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$.

Для правильного треугольника центральный угол, соответствующий одной стороне, равен $$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$$, поэтому

$$a=2R\sin\frac{120^\circ}{2}=2R\sin60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.$$

Теперь найдём площадь правильного треугольника по формуле

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Подставим найденное значение стороны:

$$S=\frac{(R\sqrt3)^2\sqrt3}{4} =\frac{3R^2\sqrt3}{4}.$$

Ответ: $$\frac{3R^2\sqrt3}{4}$$.