Упр.8.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 22. Докажите, что четыре точки (1; 0), (-1; 0), (0; 1), (0; -1) являются вершинами квадрата.

Подробный ответ

Обозначим данные точки: $$A(1;0),\ B(-1;0),\ C(0;1),\ D(0;-1).$$

Найдём длины некоторых отрезков по формуле расстояния между двумя точками:

$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}=\sqrt{2^2}=2,$$
$$BC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},$$
$$CD=\sqrt{(0-0)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{2^2}=2,$$
$$DA=\sqrt{(0-1)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$

Кроме того,

$$AC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},$$
$$BD=\sqrt{(-1-0)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$ACBD$$. У него все стороны равны:

$$AC=CB=BD=DA=\sqrt{2}.$$

Значит, $$ACBD$$ — ромб. При этом его диагонали равны:

$$AB=CD=2.$$

Ромб с равными диагоналями является квадратом. Следовательно, точки $$A,\ C,\ B,\ D$$ являются вершинами квадрата.