Упр.11.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как $$m:n$$.

Пусть в трапеции $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$E$$, а основания относятся как $$AD:BC=m:n$$.

Рассмотрим треугольники $$DAE$$ и $$BCE$$.

Углы $$\angle DAE$$ и $$\angle BCE$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$. Углы $$\angle DEA$$ и $$\angle BEC$$ равны как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle DAE \sim \triangle BCE$$.

Из подобия треугольников получаем пропорцию соответствующих сторон:

$$\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}.$$

Значит, диагонали трапеции точкой пересечения делятся в отношении оснований:

$$AE:CE=DE:BE=m:n$$.