Упр.10.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Точки М и N являются серединами отрезков $$АВ$$ и $$CD$$ соответственно. Докажите векторное равенство $$MN=\frac{1}{2}(АС+BD)$$ (рис. 233).

Так как точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{MB}$$ равны по модулю и сонаправлены. Значит,

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}, \qquad \overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}.$$

Аналогично, поскольку точка $$N$$ — середина отрезка $$CD$$, имеем

$$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ND}, \qquad \overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{DN}.$$

Выразим вектор $$\overrightarrow{MN}$$ двумя способами:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN},$$

и также

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}.$$

Сложим эти равенства:

$$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}.$$

Подставим $$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$$ и $$\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{DN}$$:

$$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).$$