Упр.7.22 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние,
меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках;
Доказательство:
1) Пусть точка O-центр данной окружности радиуса r и a-данная
прямая;
2) Проведем перпедикуляр OH к прямой a;
3) Пусть OH=h, по условию: h < r; 4) Из доказанного в предыдущей задаче следует, что из точки O можно провести две и только две наклонные к прямой a, имеющие длину r, пусть это будут наклонные OA и OB; 5) Так как OA=OB=r и эти отрезки проведены из центра окружности, то точки A и B лежат на этой окружности, следовательно, прямая a пересекает данную окружность в двух точках A и B, что и требовалось Доказать.

Пусть $$O$$ — центр данной окружности радиуса $$r$$, а $$a$$ — данная прямая. Проведём перпендикуляр $$OH$$ к прямой $$a$$, где $$H \in a$$. По условию $$OH=h$$ и $$h<r$$.

Из предыдущей задачи следует, что из точки $$O$$ к прямой $$a$$ можно провести две и только две наклонные длины $$r$$. Обозначим их $$OA$$ и $$OB$$.

Так как $$OA=OB=r$$, а отрезки $$OA$$ и $$OB$$ проведены из центра окружности, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат на данной окружности. Следовательно, прямая $$a$$ пересекает окружность в точках $$A$$ и $$B$$.

Итак, прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках.