Упр.15.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: правильная n-угольная призма; сторона основания равна a;
боковое ребро равно b;
Найти: полную поверхность призмы;
Решение:
Основаниями правильной призмы являются правильные n-угольники;
Пусть AB-одна из сторон основания призмы и точка O-центр этого
основания, тогда:
AB=a и угол AOB=(360°)/n-центральный угол;
Треугольник AOB-равнобедренный, так как AO=OB=R-радиус
описанной около этого треугольника окружности;
Опустим высоту OH этого треугольника, она же является биссектрисой
и медианой, тогда:
AH=1/2 AB=a/2 и угол AOH=1/2угол AOB=(360°)/2n=(180°)/n;
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH:
tg угол AOH=AH/OH, отсюда OH=AH/(tg угол AOH)=a/(2•tg (180°)/n);
Каждое основание призмы состоит из n таких треугольников, равных треугольнику AOB, значит площадь оснований равна:
Sосн=2•n•SAOB=2n•1/2 AB•OH=an•a/(2•tg (180°)/n )=(na^2)/(2•tg (180°)/n);
Так как правильная призма является прямой, то ее боковая поверхность
состоит из n прямоугольников со сторонами a и b, значит ее площадь:
Sбок=n•ab;

Полная поверхность правильной призмы равна сумме боковой поверхности и площадей двух оснований:

$$S=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$

Основание правильной призмы — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Его площадь выражается формулой

$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Так как призма правильная, то её боковые грани — прямоугольники со сторонами $$a$$ и $$b$$, значит

$$S_{\text{бок}}=nab.$$

Тогда

$$S=nab+\frac{na^2}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Правильная треугольная призма, $$n=3$$:

$$ S=3ab+\frac{3a^2}{2\tg 60^\circ} =3ab+\frac{3a^2}{2\sqrt{3}} =3ab+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}. $$

2) Правильная четырёхугольная призма, $$n=4$$:

$$ S=4ab+\frac{4a^2}{2\tg 45^\circ} =4ab+2a^2. $$

3) Правильная шестиугольная призма, $$n=6$$:

$$ S=6ab+\frac{6a^2}{2\tg 30^\circ} =6ab+\frac{3a^2}{\frac{1}{\sqrt{3}}} =6ab+3a^2\sqrt{3}. $$

Ответ

1) $$3ab+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$; 2) $$4ab+2a^2$$; 3) $$6ab+3a^2\sqrt{3}$$.