Упр.7.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Даны прямая и точка $$C$$ на расстоянии $$h$$ от этой прямой. Докажите, что из точки $$C$$ можно провести две и только две наклонные длины $$l$$, если $$l>h$$ (рис. 165).
Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$H$$ — основание перпендикуляра $$CH$$ к этой прямой. Тогда $$CH=h$$.
Точка $$H$$ делит прямую $$a$$ на две полупрямые. На каждой из них отложим отрезок длины $$\sqrt{l^2-h^2}$$ и получим точки $$A$$ и $$B$$ так, что
$$AH=BH=\sqrt{l^2-h^2}.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ACH$$ и $$BCH$$. По теореме Пифагора:
$$AC^2=CH^2+AH^2=h^2+\left(l^2-h^2\right)=l^2,$$
значит, $$AC=l$$. Аналогично
$$BC^2=CH^2+BH^2=h^2+\left(l^2-h^2\right)=l^2,$$
следовательно, $$BC=l$$.
Итак, из точки $$C$$ можно провести к прямой $$a$$ две наклонные длины $$l$$ — $$CA$$ и $$CB$$.
Других таких наклонных быть не может, так как на каждой из двух полупрямых прямой $$a$$ от точки $$H$$ можно отложить только один отрезок заданной длины. Значит, наклонные длины $$l$$ существуют только две.
