Упр.6.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ перпендикуляр, опущенный из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$, делит её пополам. Найдите диагональ $$BD$$ и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен $$3{,}8\ \text{м}$$, а периметр треугольника $$ABD$$ равен $$3\ \text{м}$$.

Так как $$BH \perp AD$$ и $$AH=HD$$, то прямая $$BH$$ является и высотой, и медианой треугольника $$ABD$$. Значит, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и

$$AB=BD.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$BC=AD,\quad CD=AB.$$

Периметр параллелограмма:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=2(AB+AD)=3{,}8.$$

Отсюда

$$AB+AD=1{,}9.$$

Периметр треугольника $$ABD$$:

$$P_{ABD}=AB+BD+AD=2AB+AD=3.$$

Вычтем из второго равенства первое:

$$2AB+AD-(AB+AD)=3-1{,}9,$$

$$AB=1{,}1.$$

Тогда

$$AD=1{,}9-1{,}1=0{,}8.$$

Так как $$AB=BD$$, получаем

$$BD=1{,}1.$$

Следовательно,

$$AB=CD=BD=1{,}1\text{ м},\quad BC=DA=0{,}8\text{ м}.$$

Ответ

$$BD=1{,}1\text{ м},\quad AB=CD=1{,}1\text{ м},\quad BC=DA=0{,}8\text{ м}.$$