Упр.10.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 21. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что AM = 1/2*(АВ + АС).

Подробный ответ

Достроим треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABDC$$.

По правилу сложения векторов для параллелограмма получаем:

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$

Так как $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$M$$ — середина отрезка $$BC$$. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит точка $$M$$ является точкой пересечения диагоналей $$AD$$ и $$BC$$. Следовательно,

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

Подставим выражение для $$\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

Что и требовалось доказать.