Упр.3.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у равных треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$: 1) медианы, проведённые из вершин $$A$$ и $$A_1$$, равны; 2) биссектрисы, проведённые из вершин $$A$$ и $$A_1$$, равны.
1) Пусть в равных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ проведены медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$.
Так как $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$, то соответствующие стороны равны:
$$BC=B_1C_1,$$
а соответствующие углы равны, значит
$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$
Поскольку $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то
$$BM=\frac12 BC,\qquad B_1M_1=\frac12 B_1C_1,$$
следовательно,
$$BM=B_1M_1.$$
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. В них
$$AB=A_1B_1,$$
$$BM=B_1M_1,$$
$$\angle ABM=\angle A_1B_1M_1$$
как углы между соответственно равными сторонами треугольников. Значит,
$$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$
по первому признаку равенства треугольников. Отсюда
$$AM=A_1M_1.$$
2) Пусть теперь $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы.
Из равенства треугольников имеем
$$AB=A_1B_1,$$
$$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1,$$
$$\angle B=\angle B_1.$$
Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BAD=\frac12\angle BAC,$$
$$\angle B_1A_1D_1=\frac12\angle B_1A_1C_1,$$
значит,
$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. В них
$$AB=A_1B_1,$$
$$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1,$$
$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$
Следовательно,
$$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$
по второму признаку равенства треугольников. Поэтому
$$AD=A_1D_1.$$
Ответ: медианы и биссектрисы, проведённые из соответствующих вершин равных треугольников, равны.
