Упр.15.21 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.
Площадь полной поверхности правильной призмы равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$
Для правильной $$n$$-угольной призмы:
$$S_{\text{бок}}=n\cdot ab.$$
Площадь одного основания — правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ — равна
$$S_1=\frac{na^2}{4\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$
Тогда
$$S_{\text{осн}}=2S_1=\frac{na^2}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$
Следовательно,
$$S_{\text{полн}}=nab+\frac{na^2}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для правильной треугольной призмы ($$n=3$$):
$$S_{\text{полн}}=3ab+\frac{3a^2}{2\tan 60^\circ}=3ab+\frac{3a^2}{2\sqrt{3}}=3ab+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Для правильной четырёхугольной призмы ($$n=4$$):
$$S_{\text{полн}}=4ab+\frac{4a^2}{2\tan 45^\circ}=4ab+2a^2.$$
Для правильной шестиугольной призмы ($$n=6$$):
$$S_{\text{полн}}=6ab+\frac{6a^2}{2\tan 30^\circ}=6ab+\frac{3a^2}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=6ab+3a^2\sqrt{3}.$$
Ответ: 1) $$3ab+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$; 2) $$4ab+2a^2$$; 3) $$6ab+3a^2\sqrt{3}$$.
